Ludwig Boltzmann : Entropie et physique statistique

TW : Santé mentale, suicide

Salut les Inphinautes,

Le XIX^ème siècle voit naître de nouvelles branches de la physique, dont une qui nous intéresse ici : la thermodynamique. Le XX^ème siècle, lui aussi, verra naître de nouvelles branches de la physique, dont une : la physique quantique.
S’il n’est à l’origine d’aucune de ces deux branches, celui dont on va parler aujourd’hui, Ludwig Eduard Boltzmann, est néanmoins celui qui va amorcer le lien entre ces deux champs en proposant son œuvre majeure : La physique statistique.

Entre le mardi-gras et le mercredi des cendres.

Boltzmann plaisante souvent à ce sujet : il est né dans la nuit du 19 au 20 février 1844, entre le mardi-gras et le mercredi des cendres. Voilà où il place la cause – selon ses propres blagues – de la bipolarité avec laquelle il luttera tout au long de sa vie.
Il naît à Vienne, d’un père fonctionnaire des impôts et d’une mère issue d’une riche famille de commerçants de Salzbourg. Il suit une scolarité exemplaire et passe une jeunesse somme toute tranquille… jusqu’à la mort de son père en 1859, alors qu’il a 15 ans, puis celle de son frère Albert des suites de la tuberculose, 4 ans plus tard, l’année de son baccalauréat. Très affecté par cet événement, il obtient néanmoins son diplôme avec la mention « très bien ». Mais sa santé mentale commence dangereusement à se fragiliser.

Josef Stefan

Auteur prolifique, c’est durant ses études que Boltzmann publiera ses premiers articles, premiers d’une très longue série de textes qu’il a laissés. Parmi ceux-ci, citons celui qu’il publie en 1866, intitulé « Importance mécanique du second principe de la thermodynamique » qui porte déjà les germes de ce qui fera plus tard sa réputation.

L’année suivante, il obtient la venia legendi, c’est-à-dire « la permission de donner un cours » en latin, soit l’équivalent de l’agrégation ou de l’habilitation universitaire. Il devient alors élève-enseignant et donne ses premiers cours sur la théorie de la chaleur.

Johann Josef Loschmidt

Boltzmann écrira d’ailleurs un éloge funèbre pour Loschmidt en 1895, dans lequel il saluera l’humanité de ses deux mentors, et dans lequel il laissera entrevoir la très grande sensibilité qui l’animait autant qu’elle le faisait souffrir :

« Parce qu’ils étaient sans prétention aucune, de par leur simplicité et leur modestie, ils se ressemblaient beaucoup. Ils n’essayaient jamais de faire montre de leur supériorité intellectuelle. Pendant les longues années que je passai auprès d’eux, d’abord comme étudiant, puis comme assistant, ils me traitèrent toujours comme un ami. Leur sérénité olympienne et leur humour si fin, qui faisaient des discussions les plus âpres un divertissement ludique pour les étudiants, me marquèrent au point d’influencer ma manière d’être. »

Ludwig Boltzmann à propos de Loschmidt et Stefan.

Un professeur aimé

Après avoir passé en 1866 l’équivalent de ce qui serait aujourd’hui un doctorat, et après avoir présenté l’équivalent de ce qui serait aujourd’hui une thèse sur la cinématique des gaz, Boltzmann devient alors professeur de mathématiques, de physique et même de philosophie à l’université de Graz, puis de Vienne, puis de Munich, puis de Leipzig…
Il se révèle être un professeur brillant et très aimé de ses étudiants ainsi que de ses collègues :

Voici les mots d’une de ses élèves, Lise Meitner, première femme docteure de l’université de Vienne, à qui on doit la découverte de la fission nucléaire. Victime de l’effet Matilda – dont nous parlerons – elle n’est malheureusement pas citée dans la publication, au profit de ses collègues masculins.

Bon nombre d’autres témoignages montrent la sympathie de ses étudiants pour le professeur Boltzmann, mais également la sympathie de Boltzmann pour ses étudiants auxquels il accordait parfois – dans sa grande sensibilité, et tout en restant juste – certaines faveurs.

Henriette

Ce fut par exemple le cas pour Henriette von Aigentler. Passionnée de sciences, elle rêvait d’entrer à l’université. Malheureusement, nous sommes à la fin du XIX^ème siècle, et comme nous l’avons déjà vu dans l’article sur Emmy Noether, à cette époque, les femmes n’étaient pas admises à l’université. Elle put tout de même un jour assister à une conférence de Ludwig et fût immédiatement saisie par son charisme, sa bienveillance et ses qualités d’orateur.

Elle prit alors son courage à deux mains et écrivit une lettre à celui qui allait, quelques années plus tard, devenir son mari, afin de lui demander son soutien dans son projet de devenir enseignante. Touché par la démarche d’Henriette et aussi par son intelligence et sa détermination, Boltzmann accepte volontiers de l’aider.

Leur admiration mutuelle déboucha rapidement et assez naturellement sur une relation amoureuse. Elle fut pour lui et pour sa santé mentale toujours plus encline à la dépression, un véritable phare dans la nuit. Comme on pourrait le dire dans un conte, ils se marièrent en 1875 et eurent 5 enfants. Malheureusement, le conte ne durera pas éternellement.

Le Magnum Opus

Le moins qu’on puisse dire de Boltzmann, c’est qu’il fut prolifique. À vrai dire, il n’y a presque pas une branche de la physique du XIX^ème siècle sur laquelle il n’ait laissé son empreinte. Mais son grand œuvre est sans aucun conteste son explication statistique du deuxième principe de la thermodynamique. Reprenons-le depuis le début.

Les 3 principes de la thermodynamique…

… Qui sont au nombre de 4 (je sais que les physiciens se plaignent parfois des moqueries des mathématiciens à leur égard, mais avouez que des fois…). On peut les résumer ainsi :

Principe 0 : Si un corps A est à l’équilibre thermique avec un corps B, lui-même à l’équilibre thermique avec un corps C, alors les corps A et C sont également à l’équilibre thermique entre eux. Ce principe rappelle sûrement aux plus matheux d’entre vous, la propriété transitive des équations.

Premier principe : L’énergie est conservée. Notons qu’un principe physique est comme un axiome mathématique, il ne se démontre pas. Pourtant, si vous avez lu l’article sur Emmy Noether, vous savez qu’elle a tout de même démontré ce principe.

Deuxième principe (qui fut le second principe jusqu’en 1906, quand le troisième principe a été énoncé par Walther Nernst) : L’entropie d’un système ne peut qu’augmenter. Et c’est justement de l’entropie que l’on va parler.

Troisième principe : Aucun système ne peut atteindre le 0 absolu (0 K, soit -273,15 °C)

Naissance du second principe.

Ce que dit Sadi Carnot dans sa formulation, c’est que s’il existe une différence de température entre deux corps, la chaleur va se diriger du corps chaud vers le corps froid. En plaçant un moteur entre les deux corps, on va alors pouvoir utiliser ce flux de chaleur pour alimenter un moteur thermique qui produira alors un travail mécanique. La chaleur devient alors une source d’énergie.

Mais cette formulation semble surtout se soucier d’ingénierie, de machines à vapeur et de moteurs. On est loin de la physique fondamentale sous-entendue au début de cet article. Qui plus est, dans ce schéma, le moteur semble parfait. Ni la chaleur ni l’énergie ne semblent se dissiper, ce qui implique que le moteur de Sadi Carnot aurait un rendement de 100%. Or on sait bien qu’un tel moteur est impossible en pratique. Il faudra attendre l’énoncé de Rudolph Clausius, en 1850, pour voir naitre l’idée d’entropie, qui va prendre en compte ce problème.

L’entropie

« L’entropie d’un système isolé ne peut qu’augmenter ». C’est ce que nous dit Clausius. Ou, en termes mathématiques :

ΔS ≥ 0

Mais qu’est-ce que ça veut dire ? Si vous consultez régulièrement des supports de vulgarisation scientifique, vous aurez déjà lu ou entendu que l’entropie est une mesure du désordre d’un système. Ce n’est pas complètement faux, mais ce n’est pas non plus très rigoureux.
Une première façon de voir l’entropie, c’est une mesure de l’homogénéité d’un système. Ce qui peut paraître contre-intuitif : L’homogénéité est un concept qui peut sembler loin du désordre.

Imaginez alors un artisan avec sa caisse à outils, et dans cette caisse des compartiments. Un pour les clous, un pour les vis, un pour les écrous et un pour les chevilles.

On peut alors dire que sa caisse à outils est parfaitement rangée, parfaitement en ordre. Mais au grès des chantiers, s’il ne prend pas le temps de la tenir en ordre, on sait tous ce qui va arriver : Rapidement, des écrous vont se retrouver dans le compartiment des chevilles, des clous dans celui des vis, des vis dans celui des écrous etc. L’entropie commence son œuvre, la caisse à outils se « désordonne ».

Et si on considère la boite comme un système isolé, autrement dit si personne ne la remet en ordre, de chantier en chantier, la caisse à outils finira par ressembler à ça :

Un désordre presque parfait, où chaque compartiment contient autant de clous, de vis et d’écrous, rendant chaque compartiment homogène. L’entropie est maximale, et l’ouvrier a des difficultés à produire du travail.

L’analogie a ses limites, mais elle illustre bien l’idée.

Dans le moteur de Sadi Carnot, l’entropie amène le corps chaud à se refroidir et le corps froid à se réchauffer jusqu’à atteindre une température homogène, empêchant ainsi le flux de chaleur et stoppant le moteur, qui, comme notre artisan, ne pourra plus produire de travail mécanique. Comme pour notre caisse à outils, il est impossible que les deux corps tièdes retrouvent spontanément leurs températures initiales sans intervention extérieure, d’où l’idée de système isolé.

Une nouvelle vision de l’entropie apparaît alors : une dissipation d’énergie qui ne génère plus de travail mécanique. Par exemple, faire fonctionner ma voiture sans me déplacer brûle de l’essence inutilement – polluant pour rien – tandis que l’énergie est définitivement perdue, rendant le rendement du moteur nul. L’entropie est alors immense. Cette façon d’illustrer l’entropie comme une dissipation d’énergie est bien meilleure.

Cette réflexion soulève la question de l’irréversibilité des phénomènes physiques et celle de la flèche du temps. C’est là où Boltzmann intervient.

L’interprétation statistique

On l’a dit, Boltzmann est un atomiste. Influencé par Loschmidt, il pense que la matière est composée d’atomes et de molécules. Et c’est sur cette idée qu’il va construire son interprétation statistique de l’entropie.

Faisons déjà un point rapide sur la physique statistique : Elle se base également sur l’idée que la matière est composée d’atomes et de molécules et que certaines caractéristiques de la matière à l’échelle macroscopique émergent en fait de phénomènes plus fondamentaux à l’échelle microscopique. Par exemple, la température d’un liquide est en fait une conséquence à grande échelle – qu’on appelle le macro-état du système – de l’agitation moyenne des molécules qui le composent à petite échelle – le micro-état du système.

William Thomson – plus connu sous le nom de Lord Kelvin – va d’ailleurs définir le 0 absolu (0 Kelvin) comme l’absence totale d’agitation dans le micro-état d’un système. Pour le dire simplement, l’absence d’agitation des atomes ou des molécules qui composent le système. Et, nous l’avons vu dans le 3ème principe, ce 0°K est théorique et ne peut jamais être atteint.

Mais alors, quid de l’entropie ? Elle dépend également des micro-états que peut prendre le système. De tous les micro-états que peut prendre le système pour être précis. Or, les micro-états où le système est homogène – ou « en désordre » si vous préférez – sont beaucoup plus nombreux que ceux où le système est « ordonné ».
Pour faire une analogie macroscopique, imaginez un jeu de 54 cartes (dont on retire les deux jokers par souci de simplicité, ce qui nous laisse 52 cartes). Disons qu’il n’existe qu’une seule façon de le considérer comme parfaitement ordonné :

En revanche, combien y a-t-il de combinaisons où on pourra le considérer comme désordonné ? Il suffit de prendre le nombre de mélanges possibles d’un jeu de 52 cartes, et d’en retirer un, celui ou le jeu est ordonné.

Point mathématique facultatif : combinatoire

Pour la première place, on à 52 possibilités.
Pour la seconde, on choisi parmi les 51 cartes restantes.
Pour la troisième, on choisi parmi les 50 restantes.
Et ainsi de suite.

Il y a donc 52 x 51 x 50 x 49 x … possibilités. Ce qui se note 52! et se nomme factorielle de 52.
Ce qui nous donne environ:

52! ≈ 8.0658×10⁶⁷

Un nombre colossal à 68 chiffres.

C’est à dire 8.0658×10⁶⁷ mélanges possibles. Un mélange aléatoire a donc une chance sur 8×10⁶⁷ de donner un jeu parfaitement rangé. Et ça, avec seulement 52 cartes, alors imaginez pour un simple verre d’eau composé de 10 millions de milliards de milliards de molécules.

Ce que nous dit Boltzmann à propos de l’entropie, c’est qu’un système tend à se désordonner – à s’homogénéiser donc – car il est statistiquement beaucoup plus probable que ses micro-états soient homogènes plutôt qu’ordonnés. L’entropie est définie mathématiquement comme suit : (l’équation finale n’est d’ailleurs pas écrite par Boltzmann, mais par Planck, en s’appuyant sur les calculs de Boltzmann) :

S = k_b log W

S est l’entropie
k_b la constante de Boltzmann
W le nombre de micro-états

Rien n’interdit fondamentalement qu’un jeu de cartes se range spontanément. Absolument aucune loi physique ne s’y oppose. Alors pourquoi ne voit-on jamais un jeu de cartes se remettre en ordre spontanément ? Parce que, statistiquement, la probabilité est quasiment nulle.

L’irréversibilité se dessine.

Irréversibilité et flèche du temps.

A notre échelle, certains phénomènes semblent parfaitement réversibles. Si je range ma chambre en remettant tous les objets à leur place, je peux avoir l’illusion d’avoir déjoué l’entropie. Mais en réalité, ai-je remis ce livre exactement à sa place ? Les mêmes atomes de sa couverture sont-ils alignés avec les mêmes atomes de la bibliothèque ? Non. Ces atomes ont d’ailleurs probablement été échangés entre-temps…
À l’échelle des micro-états, aucun phénomène n’est réversible. C’est pourquoi une chambre ne retrouve pas plus son véritable ordre initial qu’un verre d’eau tiède ne se sépare en un demi verre chaud et un demi verre froid.

Ce que nous dit Carlo Rovelli avec ses mots et sa créativité dans ce très bel extrait, c’est que la flèche du temps naît de l’entropie et de l’irréversibilité qu’elle crée. Boltzmann aura donc réussi à montrer pourquoi le temps a un sens, pourquoi le temps a une flèche, et pourquoi le mercredi des cendres arrive après le mardi gras.

Ernst Mach, Wilhelm Ostwald et les autres

La théorie de Boltzmann est un succès. Mais elle s’appuie sur l’hypothèse alors très propre à la chimie et aux disciples de Mendeleïev, de l’existence des atomes. Or, sur ce point, Boltzmann va rencontrer une certaine résistance de la part de ses confrères.

Touché par ces évènement et la désapprobation de ses pairs, Boltzmann sombre de plus en plus dans la dépression. Bien qu’il ait gardé de bons rapports de façade avec ses collègues – Ostwald lui proposa un poste à Leipzig en 1900 – Boltzmann fera ensuite plusieurs tentatives de suicide au début des années 1900.

Trieste

Durant l’été 1906, Henriette, voyant Ludwig dévasté et malade, décide de partir en vacances en famille en Italie, près de Trieste. Le 5 septembre, Boltzmann se donne la mort alors qu’Henriette et les enfants sont à la plage. Elsa, sa fille de 15 ans, le retrouvera pendu à son retour dans la chambre d’hôtel. Le conte de fées des premiers temps tourne à la tragédie.

Il ignorait, quelques mois auparavant, qu’un jeune employé du bureau de brevets de Berne, du nom d’Albert Einstein, avait publié un article sur le mouvement brownien, montrant l’exactitude de la théorie atomiste. Le génie de Boltzmann sera alors reconnu après sa mort.

Ostwald dira même de lui qu’il était « l’homme dont la science nous a dépassés par sa perspicacité et sa clarté« .

C’est beau. Mais c’est un peu tard, malheureusement.

S’il n’est pas question d’accuser Mach ou Ostwald d’être les bourreaux responsables de la mort de Boltzmann, il est toujours bon de rappeler qu’une moquerie – même si elle semble « gentille » – associée à une santé mentale fragile peut avoir des conséquences tragiques.

« Chaque personne que tu rencontres mène une bataille dont tu n’as aucune idée. Sois gentil. Toujours. »

Robin Williams

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Vous pouvez aussi consulter : https://www.suicide-ecoute.fr